home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter4.4p < prev    next >
Text File  |  1996-08-13  |  9KB  |  376 lines
  1. à 4.4 NON-HOMOGENEOUS EQUATIONS; VARIATION OF PARAMETERS
  2.  
  3. äèFïd ê particular solution, given ê fundmental
  4. èèèèèèèset ç solutions, ë ê non-homogeneous equation.
  5.  
  6. â    è Forèy»» - 5y» + 6y = 2x + 3
  7.     The fundamental solutions set is eì╣ å eÄ╣.
  8.     Thus assume a particular solution ç ê formè
  9.         u¬(x)eì╣ + u½(x)eÄ╣
  10.     Solvïg yieldsèu¬ = eúì╣(x + 2) u½ = eúÄ╣(-2x/3 + 11/9)
  11.     The particular solution isèx/3 + 7/9
  12.  
  13. éS    è The problem ç solvïg a lïear, NON-HOMOGENEOUS, second
  14.     order differential equation can be split ïë two parts
  15.  
  16.     1)    Solve ê homogeneous differential equation which will
  17.         produce two ïdependent solutions (ê fundamental set
  18.         ç solutions) say y¬ å y½.èThe general solution 
  19.         ç ê homogeneous differential equation is
  20.             C¬y¬ + C½y½
  21.  
  22.     2)    Fïd any PARTICULAR SOLUTION ë ê NON-HOMGENEOUS
  23.         differential equation, say y╞.
  24.  
  25.     èèThe general solution ë ê NON-HOMOGENEOUS differential
  26.     equation is ê sum ç êse two solutions
  27.  
  28.             C¬y¬ + C½y½ + y╞
  29.  
  30.     èè In this section, ê METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS
  31.     will be used ë fïd PARTICULAR SOLUTIONS ç ê NON-HOMOGEN-
  32.     EOUS differential equation.èThis method is one that will work
  33.     ï general.èIts only restriction is ê ability ë evaluate
  34.     two ïtegrals.èAssumïg ability ë ïtegrate êse ïtegrals
  35.     a particular solution can always be found.
  36.     èè If ê non-homogeneous term is 
  37.     a)    a polynomial
  38.     b)    a real exponential
  39.     c)    a real exponential times sï[x] or cos[x]
  40.     Or a lïear combïation ç êse, ê METHOD OF UNDETERMINED
  41.     COEFFICIENTS Section 5.3) can be used MORE EASILY ë fïd a 
  42.     particular solution.
  43.     èè The method ç VARIATION OF PARAMETERS assumes that ê form 
  44.     ç ê particular solution is as follows,
  45.         y = u¬(x)y¬ + u½(x)y½,    
  46.     where y¬ å y½ form ê fundamental solution set ç ê 
  47.     homogeneous differential equation å u¬ å u½ are functions
  48.     ç x that will be determïed.
  49.         As êre are TWO unknown functions u¬ å u½, TWO
  50.     EQUATIONS are needed ë solve for êm.èOne will be obtaïed by
  51.     direct substituion ç ê assumed solution ïë ê NON-HOMO-
  52.     GENEOUS differential equation.èThe second condition was 
  53.     developed by LAGRANGE who developed this method.è
  54.     èèèDifferentiatïg ê assumed solution yields
  55.         y» = u¬»y¬ + u¬y¬» + u½»y½ +u½y½»
  56.     LaGrange's condition was that ê first å third terms add
  57.     ë zero
  58.         u¬»y¬ + u½»y½ = 0
  59.     èè This leaves ê first derivative as
  60.         y» = u¬y¬» + u½y½»
  61.     èè Differentiatïg agaï å substitutïg ïë ê non-
  62.     homogeneous diferential equation å recallïg that y¬ å 
  63.     y½ are solutions ç ê homogeneous differential equation
  64.     yield ê second condition that
  65.         u¬»y¬» + u½»y½» = g(x)
  66.     Thus we have ê system ç equations
  67.         u¬»y¬è+ u½»y½è= 0
  68.         u¬»y¬» + u½»y½» = g(x)
  69.     ï ê two unknowns u¬» å u½».
  70.     èè Solvïg this system by use ç Cramer's Rule yields
  71.              y½(x)g(x)
  72.         u¬» = - ─────────── 
  73.             èW(y¬;y½)
  74.              y¬(x)g(x)
  75.         u½» =è ─────────── 
  76.             èW(y¬;y½)
  77.     where W(y¬;y½) is ê WRONKSIAN ç y¬ å y½ explaïed ï
  78.     Section 5.1 å is given by
  79.             è ▒èy¬è y½è│
  80.         W(y¬;y½) = ▒èèèèè │è=è y¬y½» - y¬»y½
  81.             è ▒èy¬»èy½» │
  82.     èè The two functions u¬ å u½ can now be found by 
  83.     ïtegration
  84.             ░èy½(x)g(x)
  85.         u¬ = -è▒ ─────────── dx 
  86.             ▓èW(y¬;y½)
  87.             ░èy¬(x)g(x)
  88.         u½ =èè▒ ─────────── dx 
  89.             ▓è W(y¬;y½)
  90.     The only obstacle ï this method lies ï ê ability ë
  91.     evaluate êse ïtegrals.èWhen this is done, ê 
  92.     particular solution is
  93.         y = u¬(x)y¬ + u½(x)y½    
  94.     å ê general solution is
  95.         y = C¬y¬ + C½y½ + u¬(x)y¬ + u½(x)y½    
  96.  
  97.  1èèy»» + 4y» + 3y = 2xèFundamental set are eú╣ å eúÄ╣
  98.  
  99.  
  100.     A)    2/3 x + 8/9    B)    2/3 x - 8/9
  101.  
  102.     C)    -2/3 x + 8/9    D)    -2/3 x - 8/9
  103.  
  104. ü     The Wronskian ç ê fundamental solution set is
  105.         èè │èeú╣èeúÄ╣è│
  106.         W =è│èèèèèè │
  107.         èè │ -eú╣ -3eúÄ╣ │
  108.  
  109.         è=è-3eú╣eúÄ╣ + eú╣eúÄ╣
  110.  
  111.         è=è-2eúÅ╣
  112.         èèè ░èeúÄ╣ (2x)
  113.         u¬ = - ▒ ─────────── dx
  114.         èèè ▓è -2eúÅ╣
  115.         èèè ░
  116.         è =è ▒ x e╣ dx
  117.         èèè ▓
  118.     This is ïtegrated by parts usïg
  119.         u = xèsoèdu = dx
  120.         dv = e╣dxèsoèv = e╣
  121.             è ░
  122.         u¬ = xe╣ - ▒ e╣ dx
  123.             è ▓
  124.     which ïtegrates ë
  125.         u¬ = xe╣ - e╣
  126.     Similarly
  127.         èèè░èeú╣ (2x)
  128.         u½ =è▒ ────────── dx
  129.         èèè▓è -2eúÅ╣
  130.         èèèè░
  131.         è =è- ▒ x eÄ╣ dx
  132.         èèèè▓
  133.     This is ïtegrated by parts usïg
  134.         u = xèsoèdu = dx
  135.         dv = eÄ╣dxèsoèv = eÄ╣/3
  136.             èèè ░
  137.         u½ = -xeÄ╣/3 + ▒ eÄ╣/3 dx
  138.             èèè ▓
  139.     which ïtegrates ë
  140.         u½ = - xeÄ╣/3 + eÄ╣/9
  141.  
  142.     The particular solution becomes
  143.         y╞ = (xe╣ - e╣)eú╣ + (- xeÄ╣/3 + eÄ╣/9)eúÄ╣
  144.     
  145.         è =èx - 1 - x/3 + 1/9
  146.  
  147.         è =è2/3 xè-è8/9 
  148.  
  149.     The general solution is
  150.         C¬eú╣ + C½eúÄ╣ + 2/3 xè- 8/9
  151.  
  152. ÇèB
  153.  
  154.  
  155.  2èy»» - 4y» + 3y = 5eÄ╣ ; Fundamental set are e╣ å eÄ╣
  156.  
  157.  
  158.     A)    5/2 xeÄ╣        B)    5/2 eÄ╣
  159.  
  160.     C)    -5/2 xeÄ╣        D)    -5/2 eÄ╣
  161.  
  162. ü     The Wronskian ç ê fundamental solution set is
  163.         èè │èe╣èèeÄ╣è│
  164.         W =è│èèèèèè │
  165.         èè │èe╣è 3eÄ╣è│
  166.  
  167.         è=è3e╣eÄ╣ - e╣eÄ╣
  168.  
  169.         è=è2eÅ╣
  170.         èèè ░èeÄ╣ (5eÄ╣)
  171.         u¬ = - ▒ ─────────── dx
  172.         èèè ▓èè 2eÅ╣
  173.         èèè 5 ░
  174.         è = - ─ ▒èe║╣ dx
  175.         èèè 2 ▓
  176.     This is ïtegrated directly ë
  177.  
  178.         u¬ =è-5/4 eì╣
  179.  
  180.     Similarly
  181.         èèè░èe╣ (5eÄ╣)
  182.         u½ =è▒ ────────── dx
  183.         èèè▓èè2eÅ╣
  184.         èèè5 ░
  185.         è =è─ ▒ dx
  186.         èèè2 ▓
  187.     This is ïtegrated directly ë
  188.         u½ = 5/2 x
  189.     The particular solution becomes
  190.         y╞ = (-5/4 eì╣)e╣ + (5/2 x)eÄ╣
  191.     
  192.         è =è5/2 x eÄ╣ - 5/4 eÄ╣
  193.     As eÄ╣ is part ç ê fundamental set, ê second term is
  194.     redundant ï ê general solution so ê particular solution
  195.     is, most simply
  196.         è =è5/2 x eÄ╣
  197.  
  198.     The general solution is
  199.         C¬eú╣ + C½eúÄ╣ + 5/2 x eÄ╣
  200.  
  201. ÇèA
  202.  
  203.     
  204.  3èy»» + y = sï[x]èFundamental set are cos[x] å sï[x]
  205.  
  206.     A)    1/2 x sï[x]        B)    1/2 x cos[x]
  207.  
  208.     C)    -1/2 x sï[x]        D)    -1/2 x cos[x]
  209.  
  210. ü     The Wronskian ç ê fundamental solution set is
  211.         èè │ècos[x]è sï[x]è│
  212.         W =è│èèèèèèèèè │
  213.         èè │ -sï[x]è cos[x]è│
  214.  
  215.         è=ècosì[x] + sïì[x]
  216.  
  217.         è=è1
  218.         èèè ░èsï[x] (sï[x])
  219.         u¬ = - ▒ ───────────────── dx
  220.         èèè ▓èèèè 1
  221.         èèè ░
  222.         è = - ▒ sïì[x] dx
  223.         èèè ▓
  224.     This is ïtegrated by double angle substituion
  225.             ░è1 - cos[2x]
  226.         u¬ =è- ▒ ───────────── dx
  227.             ▓èèè 2
  228.     which ïtegrates 
  229.         u¬ = -x/2 + sï[2x]/4
  230.     Usïg ê double angle identity
  231.         u¬ = -x/2 + sï[x]cos[x]/2
  232.     Similarly
  233.         èèè░ècos[x] (sï[x])
  234.         u½ =è▒ ───────────────── dx
  235.         èèè▓èèèè 1
  236.         èèèè░
  237.         è =èè▒ sï[x] cos[x] dx
  238.         èèèè▓
  239.     This is ïtegrated by substituion usïg
  240.         u = sï[x]èsoèdu = cos[x] dx
  241.         èèè░
  242.         u½ =è▒ u du
  243.         èèè▓
  244.     which ïtegrates ë
  245.         u½ = uì/2
  246.     Changïg back ë ê origïal ïtegration variable
  247.         u½ = sïì[x]/2
  248.     The particular solution becomes
  249.     èè y╞ = (-x/2 + sï[x]cos[x]/2)cos[x] + ( sïì[x]/2)sï[x]
  250.     
  251.         è =è-x cos[x]/2 + sï[x]/2 {così[x] + sïì[x]}
  252.  
  253.         è =è-x cos[x]/2 + sï[x]/2è
  254.     As sï[x] is part ç ê fundamental set, ê second term is
  255.     redundant ï ê general solution so ê particular solution
  256.     is, most simply
  257.         y╞ = - 1/2 x cos[x] 
  258.     The general solution is
  259.         C¬cos[x] + C½sï[x] - 1/2 x cos[x]
  260.  
  261. ÇèD
  262.  
  263.  4èèx║y»» - 6y = 2x + 4èFundamental set are xÄ å xú║
  264.  
  265.     A)    2/5 xÄln[x] + xì    B)    2/5 xÄln[x] - xì
  266.  
  267.     C)    - 2/5 xÄln[x] + xì    D)    - 2/5 xÄ ln[x] - xì 
  268.  
  269. ü     The Wronskian ç ê fundamental solution set is
  270.         èè │è xÄèèxúìè │
  271.         W =è│èèèèèèè │
  272.         èè │è3xìè -2xúÄè│
  273.  
  274.         è=è-2xÄxúÄ - 3xìxúì
  275.  
  276.         è=è-5
  277.         èèè ░èxúì (2x+4)
  278.         u¬ = - ▒ ──────────── dx
  279.         èèè ▓èèè-5
  280.         èè 2è░èdxèè 4è░èdx
  281.         è = ─è▒ ────è+ ─è▒ ────
  282.         èè 5è▓è xèè 5è▓èx║
  283.     This is ïtegrated by ê power rule
  284.         u¬ = 2/5 ln[x] - 4/5 xúî
  285.  
  286.     Similarly
  287.         èèè░èxÄ (2x+4)
  288.         u½ =è▒ ─────────── dx
  289.         èèè▓èèè5
  290.  
  291.         èèè 2è░èèèèè4è░ 
  292.         è = - ─è▒ xÅ dxè- ─è▒ xÄ dx
  293.         èèè 5è▓èèèèè5è▓ 
  294.     This is ïtegrated by ê power rule
  295.         u½ =è- 2/25 xÉ - 1/5 xÅ
  296.     The particular solution becomes
  297.     èè y╞ = (2/5 ln[x] - 4/5 xúî)xÄ 
  298.         è+ (- 2/25 xÉ - 1/5 xÅ)xúì
  299.     
  300.         è =è2/5 xÄ ln[x] - 4/5 xì - 2/25 xÄ - 1/5 xì
  301.  
  302.         è =è2/5 xÄ ln[x] - 2/25 xÄ -èxì
  303.     As xÄ is part ç ê fundamental set, ê second term is
  304.     redundant ï ê general solution so ê particular solution
  305.     is, most simply
  306.         y╞ = 2/5 xÄ ln[x] - xì 
  307.     The general solution is
  308.         C¬xÄ + C½xúìè+ 2/5 xÄ ln[x] - xì 
  309.  
  310. ÇèB
  311.  
  312.  5èy»» + y = cot[x]èFundamental set are cos[x] å sï[x]
  313.  
  314.     A)     sï[x] ln│csc[x] + cot[x]│        
  315.     B)    -sï[x] ln│csc[x] + cot[x]│    
  316.     C)     cos[x] ln│csc[x] + cot[x]│    
  317.     D)    -cos[x] ln│csc[x] + cot[x]│    
  318.  
  319. ü     The Wronskian ç ê fundamental solution set is
  320.         èè │ècos[x]è sï[x]è│
  321.         W =è│èèèèèèèèè │
  322.         èè │ -sï[x]è cos[x]è│
  323.  
  324.         è=ècosì[x] + sïì[x]
  325.  
  326.         è=è1
  327.         èèè ░èsï[x] (cot[x])
  328.         u¬ = - ▒ ───────────────── dx
  329.         èèè ▓èèèè 1
  330.         èèè ░èèèè cos[x]
  331.         è = - ▒ sï[x] ──────── dx
  332.         èèè ▓èèèè sï[x]
  333.         èèè ░èèèè
  334.         è = - ▒ cos[x] dx
  335.         èèè ▓èèèè
  336.     This is ïtegrated directly ë
  337.  
  338.             u¬ = -sï[x]
  339.     Similarly
  340.  
  341.         èèè░ècos[x] (cot[x])
  342.         u½ =è▒ ───────────────── dx
  343.         èèè▓èèèè 1
  344.         èèè░    èèèècos[x]
  345.         è =è▒ cos[x] ──────── dx
  346.         èèè▓    èèèèsï[x]
  347.         èèè░ècosì[x]
  348.         è =è▒ ───────── dx
  349.         èèè▓èsï[x]
  350.         èèè░è1 -sïì[x]
  351.         è =è▒ ──────────── dx
  352.         èèè▓èèsï[x]
  353.         èèè░è
  354.         è =è▒ csc[x] - sï[x] dx
  355.         èèè▓è
  356.     which ïtegrates ë
  357.         u½ =è- ln │ csc[x] + cot[x] │ + cos[x]
  358.     The particular solution becomes
  359.     èè y╞ = (- sï[x])cos[x] 
  360.             + (-ln│ csc[x] + cot[x] │ + cos[x])sï[x]
  361.     
  362.         è =è-sï[x] cos[x] + sï[x] ln│ csc[x] + cot[x] │
  363.              + sï[x] cos[x]
  364.  
  365.         è =è sï[x] ln│ csc[x] + cot[x] │
  366.     
  367.     The general solution is
  368.         C¬cos[x] + C½sï[x] + sï[x]ln│ csc[x] + cot[x] │
  369.  
  370. ÇèA
  371.  
  372.  
  373.  
  374.  
  375.  
  376.